1、可测函数及其与简单函数的联系：
可测函数：若为定义在可测集上的广义实值函数，若，点集为可测集，则为上的可测函数，在上可测；简单函数：可测集可以分为有限个不相交的的可测集，且，若函数在每个可测集上取值都为常数，则称上的函数为简单函数；特征函数：对于集合，其特征函数为；则简单函数可以表示为；特别地，当每个是矩体时，称为阶梯函数；实值函数的正负部分解：；；则；可测函数的相关定理：对于可测集，上的简单函数是可测的；（简单函数逼近定理1）若为定义在可测集上的非负函数，则有：在上非负可测上的非负渐增的简单函数列，有；（简单函数逼近定理2）若 在上可测，则为可测简单函数列，使得，且有；可测都是可测函数；
若为定义在可测集上的函数，则有：在上可测当且仅当以下条件之一成立：
可测；
可测；
可测；
可测；
可测；
可测；
可测；
可测；
若为定义在可测集上的广义实值函数，则在上均可测在上可测；
若在上可测，是中的可测集，则看做是在上的函数，在上也是可测的；
2、几乎处处类概念：
几乎处处成立/是真的：已知可测集，而为与这个可测集中的点有关的命题；若除了中的一个零测集外均成立，则称在上几乎处处成立/是真的；对等/几乎处处相等：已知为上的可测函数，若，则称在上几乎处处相等；几乎处处有限的：已知为上的可测函数，若，则称在上是几乎处处有限的；几乎处处收敛：已知为上的广义实值函数，若满足和两个条件，则称在上是几乎处处收敛于；3、可测函数的基本性质：
若，则在上可测时，也在上可测；若在上可测，是的可测子集，则 在上可测；
若在上可测，则 在上可测；
若 为上的可测函数，则满足以下性质：
在上可测；
若在上几乎处处有意义时， 在上可测；
若在上几乎处处有意义时， 在上可测；
若在上几乎处处有意义时， 在上可测；
若 为上的可测函数列，则均在上可测；
若 为上的可测函数列，且，则在上可测；
在上可测均在上可测；
在上可测在上可测；